algebra superior 2: marzo 2015

miércoles, 25 de marzo de 2015

anillos de los números enteros

\mathbb{Z}

: números enteros significa ^=y

\mathbb{Z}

E(-∞.+∞)

\mathbb{Z}

¨{--------4,-3,.2,-1,0,1,,2,3,4,-----}
anillos →(+,x,>0<)
propiedades en

\mathbb{Z}

(básicas en las operaciones)
1.- la suma de dos enteros en conmutativa:
si a,b

\in

\mathbb{Z}

→a+b=b+a
por ejemplo: 5+4=4+5
9=9
2.- la suma de enteros es asociativa:
si a,b^c

\in

\mathbb{Z}

→(a+b)+c=a+(b+c)
por ejemplo: 3+(4+5)=(3+4)+5
3+ 9 = 7 + 5
12 = 12

temario

PROGRAMA DE ÁLGEBRA SUPERIOR 2 SEGUNDO SEMESTRE

1. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

1.1 Propiedades básicas de las operaciones en Z.

1.2 Propiedades de anillo de los enteros.

1.3 Dominios enteros.

1.4 El orden en Z.

1.5 Unidades.

1.6 Inducción.

2. DIVISIBILIDAD.

2.1 Definiciones.

2.2 Propiedades elementales de la divisibilidad.

2.3 El algoritmo de la división.

2.4 El máximo común divisor.

2.5 Soluciones enteras.

2.6 El algoritmo de Euclides.

2.7 Factorización única.

2.8 Congruencias.

3. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

3.1 Los números racionales.

3.2 Definiciones.

3.3 Estructura de campo ordenado.

3.4 Los enteros como racionales.

3.5 Los números reales.

3.6 El orden en R.

3.7 Cotas y fronteras.

3.8 Operaciones con reales.

3.9 Propiedades de las operaciones.

3.10Estructura de campo ordenado.

3.11Decimales periódicos y racionales.

3.12Raíces de reales positivos.

3.13Exponentes racionales.

3.14Valor absoluto.

3.15Aproximación.

4. POLINOMIOS Y ECUACIONES.

4.1 Definiciones.

4.2 Los Polinomios como funciones.

4.3 Operaciones.

4.4 El algoritmo de la división.

4.5 Raíces de polinomios.

4.6 Ecuaciones de segundo grado.

4.7 División sintética.

4.8 Cálculo aproximado de raíces.

4.9 Factorización de polinomios.

4.10Raíces Múltiples.

4.11Derivadas y multiplicidad.

4.12Coeficientes y raíces.

4.13Polinomios con Coeficientes reales.

4.14El algoritmo de Euclides.

4.15Teorema de Sturm.

4.16Fracciones racionales.

4.17Descomposición de fracciones parciales.

4.18Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Fíjate muy bien en el significado de cada una de las tres palabras: máximo, común, divisor.

Máximo: El mayor.
Común: Que sirva para dos o más números a la vez.
Divisor: Que al dividir por este número, el resto de cada una de las divisiones nos dé cero.

Ejemplo:

Tenemos los números 24 y 20 ¿Cuál es el mayor número que podemos escribir en el divisor de modo que al dividir 24 y 20 por dicho número nos dé cero de resto?
¿Qué número pondrías en el lugar de X?

Como 24 y 20 son divisibles por 2, podríamos escribir 2 en el lugar de X.

Vemos que también podríamos reemplazar X por 4.
En ambos casos el resto es cero.
¿Cuál de los dos valores es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR?
Como verás, el mayor de los dos será el 4.
El máximo común divisor de 24 y 20 es 4 y lo escribimos de modo más reducido:
m.c.d.(24,20) = 4
3.51 ¿Cuál es el máximo común divisor de 15 y 3?
3.52 ¿Cuál es el máximo común divisor de 21 y 14?
3.53 ¿Cuál es el máximo común divisor de 30 y 20?
Respuestas:
3.51 El m.c.d(15 y 10) = 5
3.52 El m.c.d(21 y 14) = 7
3.53 El m.c.d(30 y 20) = 10
¿Solamente se puede calcular el m.c.d. de dos números?
Puedes calcular de tres o más.
3.54 Calculamos el:
El m.c.d (90, 36 y 12)

Hacer este calculo de memoria, probando, tanteando es muy trabajoso.
Hay varios modos de hacer el cálculo. Nosotros vamos a estudiar dos maneras sin hacer uso del ordenador. Tú escoges el que te parezca mejor.

Descomponemos 90, 36 y 12 en sus factores primos:

Cuando hayas acabado de descomponer en factores primos escribes:

Ahora te fijas qué factor o divisor con menor exponente está en los tres números.
El 2 y el 3 están contenidos en 90, 36 y 12, luego, 2x3=6 el máximo común divisor y escribimos:

m.c.d (90, 36 y 12) = 6

PROPIEDADES:

1. Si

\ \operatorname{mcd}(a,b)=d

entonces

\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1

2. Si

\ m

es un entero,

\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)

3. Si

\ p

es un número primo, entonces

\ \operatorname{mcd}(p,m)=p

o bien

\ \operatorname{mcd}(m,p)=1

4. Si

d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1

, entonces

\ d=d'

5. Si

\ d'

es un divisor común de

\ m

\ n

, entonces

d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)

6. Si

\ m=nq+r

, entonces

\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)

7. Si

\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k

, entonces:

\operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)}

martes, 24 de marzo de 2015

En matemáticas, se llama números primos a aquellos números naturales que únicamente pueden ser divididos ya sea por 1 o por sí mismos; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 41, 43, son ejemplos de números primos.
En tanto, se designa como primalidad a la propiedad que tienen los mencionados números de ser primos. Además, esta condición de primalidad es importante porque es la que nos indica que todo número puede factorizarse como producto de números primos, mientras tanto, esta factorización será única.

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo:

24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564

5 + 6 + 4 = 15

15 es múltiplo de 3

2 040

2 + 0 + 4 + 0 = 6

6 es múltiplo de 3

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a», finalmente que a es factor de b, b submúltiplo de a.¹Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Propiedades

Sean

a, b, c \in \mathbb{Z}

, es decir

\ a

\ b

\ c

son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:

$a\mid a$ (Propiedad Reflexiva).
Si $a\mid b$ y $b\mid c$ , entonces $a\mid c$ (Propiedad Transitiva).
Si $a\mid b$ y $b \neq 0$ , entonces $|a|\leq |b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid c$ , entonces $a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid b \pm\ c$ , entonces $a\mid c$
Si $a\mid b$ y $b\mid a$ , entonces $\ |a|=|b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\neq 0$ , entonces $\frac{b}{a}\mid b$ .
Para $c\neq 0$ , $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
Si $a\mid bc$ y $\ \operatorname{mcd}(a,b)=1$ , entonces $a\mid c$ .
Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$ , entonces $ab\mid c$ .
$n \mid 0$ y $1 \mid n$ para todo $\ n$ entero ya que $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ .

\ m

no es divisible por

\ n

escribimos

n\nmid m

. Notemos que

0\nmid m

para todo

\ m

distinto de cero, pues

m\neq 0=k\cdot 0

para todo

\ k

entero.

El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.
Si d es un divisor de a y no admite más divisor propio que la unidad, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo.
Si m divide a², no necesariamente divide a a;² 9 divide 6², pero no divie a 6.
k primo divide a² + n², si solo si k divide a a y divide a n
La diferencia de cuadrados de dos números de la misma paridad es múltiplo de 4.
El criterio de divisibilidad está ligado al sistema de numeración y a su base; por ejemplo el número 495 (base 10) en la base 6 se escribe 2143, que será divisible por 5, porque la suma de sus cifras es divisible por 5³

miércoles, 25 de marzo de 2015

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR

martes, 24 de marzo de 2015

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Criterio de divisibilidad por 2

Criterio de divisibilidad por 3

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