algebra superior 2: divisibilidad

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a», finalmente que a es factor de b, b submúltiplo de a.¹Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Propiedades

Sean

a, b, c \in \mathbb{Z}

, es decir

\ a

\ b

\ c

son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:

$a\mid a$ (Propiedad Reflexiva).
Si $a\mid b$ y $b\mid c$ , entonces $a\mid c$ (Propiedad Transitiva).
Si $a\mid b$ y $b \neq 0$ , entonces $|a|\leq |b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid c$ , entonces $a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}$ .
Si $a\mid b$ y $a\mid b \pm\ c$ , entonces $a\mid c$
Si $a\mid b$ y $b\mid a$ , entonces $\ |a|=|b|$ .
Si $a\mid b$ y $a\neq 0$ , entonces $\frac{b}{a}\mid b$ .
Para $c\neq 0$ , $a\mid b$ si y sólo si $ac\mid bc$
Si $a\mid bc$ y $\ \operatorname{mcd}(a,b)=1$ , entonces $a\mid c$ .
Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=1$ y $\ c$ cumple que $a\mid c$ y $b\mid c$ , entonces $ab\mid c$ .
$n \mid 0$ y $1 \mid n$ para todo $\ n$ entero ya que $0=0\cdot n$ y $n=n\cdot 1$ .

\ m

no es divisible por

\ n

escribimos

n\nmid m

. Notemos que

0\nmid m

para todo

\ m

distinto de cero, pues

m\neq 0=k\cdot 0

para todo

\ k

entero.

El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.
Si d es un divisor de a y no admite más divisor propio que la unidad, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo.
Si m divide a², no necesariamente divide a a;² 9 divide 6², pero no divie a 6.
k primo divide a² + n², si solo si k divide a a y divide a n
La diferencia de cuadrados de dos números de la misma paridad es múltiplo de 4.
El criterio de divisibilidad está ligado al sistema de numeración y a su base; por ejemplo el número 495 (base 10) en la base 6 se escribe 2143, que será divisible por 5, porque la suma de sus cifras es divisible por 5³

algebra superior 2

martes, 24 de marzo de 2015

divisibilidad

Propiedades

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