algebra superior 2: 2015

POLINOMIO ENTRE BINOMIO

El proceso anterior funciona para dividir cualquier polinomio, no importa cuántos términos hay en el divisor o en el dividendo. Lo importante a recordar es:

· Cuando restes, asegúrate de restar toda la expresión, no sólo el primer término. ¡Esto es muy fácil de olvidar, así que ten cuidado!

· Detente cuando el grado del residuo es menor que el grado del dividendo, o cuando hayas bajado todos los términos en el dividendo, y que el cociente se extiende al extremo derecho del dividendo.

Ejemplo
Problema	Dividir: (3x³ + 2x² – 3x + 4) ¸ (x² – 3x + 5)
		Observa los primeros términos: ¿Cuánto es ? Como = 3x, empieza poniendo 3x en el cociente. Sigue el proceso anterior. ¡Cuida los signos! El grado del residuo es 1, que es menor que el grado del divisor, 2. Ya puedes detenerte.
Respuesta	(3x³ + 2x² – 3x + 4) ¸ (x² – 3x + 5) = 3x + 11 R 15x – 51, o 3x + 11 +

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax^by^c, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

El coeficiente a en los términos de x^by^c - x^cy^b es conocido como el coeficiente binomial

\tbinom nb

\tbinom nc

(los dos tienen el mismo valor).
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de

{n\choose k}

(que también es representado ocasionalmente como

C(n,k)\,

C^n_k

) se obtiene la siguiente representación:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k$

El coeficiente de $x^{n-k}y^k\,$ en el desarrollo de $(x+y)^n\,$ es ${n\choose k}$

donde

{n\choose k}

recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2) $\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como

{\alpha \choose k}

de forma sencilla:

{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}.

producto algebraico

El producto algebraico de conjuntos (*) consiste en seguir el mismo método del producto algebraico de números en el producto de conjuntos de elementos.
Para ello lo primero que hacemos es aceptar la similitud o equivalencia entre el signo más de la suma + y la coma , que usamos para separar los elementos de un conjunto.
Dado un conjunto A(a,b,c,d) al cual lo consideramos como un conjunto formado la suma de sus elementos, A(a + b + c + d).
No obstante esta representación de suma no se usa en realidad, sino que se supone que la coma es simplemente equivalente al signo +.

Pues bien, en el principio el producto algebraico de conjuntos de cualquier tipo de elementos se desarrolla como el producto algebraico general.

Ejemplo:

1.- Dado dos conjuntos A(a,b) y B (c,d) el producto algebraico A(a,b) x B (c,d ) de estos dos conjuntos será AB(da, db, ca, cb), el cual es resuelto forma algebraica:

a,b
x c,d
da, db,ca,cb

raices multiples

Raices Multiples

Uno de los inconvenientes que presenta el método de Newton es cuando la derivada de la función tiende a cero al ser evaluada en x y por ende la convergencia disminuye o incluso se suspende si se alcanza una división por cero. Similarmente sucedería con el método de la secante si la función es muy plana y f(x) y f(x-1) son aproximadamente iguales. Con el fin de darle solución a este inconveniente se crearon estos métodos.

Métodos para determinar raíces múltiples

Hay dos formas desarrolladas para determinar raíces múltiples. Estos métodos no son más que modificaciones del método de newton y a continuación se presentaran estos.
El primero de ellos añade un factor a la formula normal del método de newton con el fin de retornar la convergencia de este, simplemente añade la multiplicidad de la raíz como una constante al segundo término de la formula.

El segundo crea una función auxiliar u(x)=f(x)/f'(x), así x_n+1 =xn-(u(x)/u'(x)) reemplazando en términos de f(x) se obtiene :

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio

Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini

Ejemplo: Factorizar

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con uno

Se copian los coeficientes del polinomio:

-4

-1

-12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

	1	-4	-1	16	-12
1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

	1	-4	-1	16	-12
1
	1

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1

Se suma –4+1=-3

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1	-3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3
	1	-3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.

Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.

Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que

Dividendo=Divisor x Cociente+Resto

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.

Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0
2		2	-2	-12
	1	-1	-6	0
-2		-2	6
	1	-3	0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es:

pero no como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio

Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini

Ejemplo: Factorizar

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con uno

Se copian los coeficientes del polinomio:

-4

-1

-12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

	1	-4	-1	16	-12
1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

	1	-4	-1	16	-12
1
	1

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1

Se suma –4+1=-3

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1	-3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3
	1	-3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.

Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.

Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que

Dividendo=Divisor x Cociente+Resto

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.

Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0
2		2	-2	-12
	1	-1	-6	0
-2		-2	6
	1	-3	0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es:

algebra superior 2

lunes, 13 de julio de 2015

POLINOMIO ENTRE BINOMIO

teorema de binomios

Ejemplo

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Coeficiente binomial

producto algebraico

raices multiples

Raices Multiples

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS