algebra superior 2: teorema de binomios

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax^by^c, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

El coeficiente a en los términos de x^by^c - x^cy^b es conocido como el coeficiente binomial

\tbinom nb

\tbinom nc

(los dos tienen el mismo valor).
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de

{n\choose k}

(que también es representado ocasionalmente como

C(n,k)\,

C^n_k

) se obtiene la siguiente representación:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k$

El coeficiente de $x^{n-k}y^k\,$ en el desarrollo de $(x+y)^n\,$ es ${n\choose k}$

donde

{n\choose k}

recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

(2) $\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como

{\alpha \choose k}

de forma sencilla:

{\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}.

algebra superior 2

lunes, 13 de julio de 2015

teorema de binomios

Ejemplo

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Coeficiente binomial

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