division sintetica

La división sintética.se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma $x-c$.   Esto nos permite, por ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio por $x-c$.  Además, por el teorema del resto al aplicar la división sintética se obtiene el valor funcional del polinomio. También permite encontrar los factores y ceros de un polinomio.  Al encontrar los ceros de un polinomio, éste se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales.  En resumen, la división sintética juega un papel preponderante en la división de un polinomio por un factor lineal de la forma $x-c$. .

 División sintética

La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $x-c$ y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio $.$  Considere un polinomio de grado $n$ de la forma:

$P(x)=$ an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a2 x2 + a1 x+ a0

Para aplicar la división sintética se sugiere seguir los siguientes pasos y :

1. Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la extrema izquierda el valor de $c$.
   
   

   	coeficientes del dividendo
   $c$	$a_n$     an-1     an-2    …  a     a1     a0

   
   
2. Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
   
   

   $c$	$a_n$     an-1     an-2    … a     a1     a0
   	$\downarrow$
   	$a_n$

   
   
3. Multiplique $c$ por el coeficiente principal $a_n$ .
   
   

   $c$	$a_n$     an-1     an-2    … a     a1     a0
   	$\downarrow$ $\nearrow$   can
   	$a_n$     $\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$

   
   
4. Sume los elementos de la segunda columna.
   
   

   $c$	$a_n$     an-1       an-2    …   a     a1     a0
   	$\downarrow$ $\nearrow$   can
   	$a_n$      ${\mathrm{ca}}_n$ + an-1

   
   
5. Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $a_0$ .
   
   

   $c$	$a_n$                an-1               an-2          …        a1            a0
   	$\downarrow$   $\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ ↗ $\hspace{0.5em}$ can          ↗   cbn-2 $\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ …    ↗   cb1 $\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ ↗       cb0
   	$b_{n-1}$ = an   $\hspace{0.5em}$ bn-2 = can + an-1    bn-3 = cbn-2 + an-2     $\dots$ $\hspace{0.5em}$ b0 = cb1 + a1 $\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ a0 + cb0

   
   
6. Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo.  Como el dividendo es de grado $n$ y el divisor es de grado 1, el cociente es de grado $n-1$ y sus coeficientes son $b_{n-1}$ , bn-1 ,…, b1 , b0 y el residuo es $a_0$ + cb0 y se obtiene:
   el cociente: $q(x)=$ bn-1 xn-1 + bn-2 xn-2 +…+ b1 x+ b0
   el residuo: $r=$ a0 + cb0

Nota: Si $r=0,$ entonces $c$ es un cero del polinomio, es decir, $P(c)=0,$ o $x-c$ es un factor del polinomio.

 Ejemplos

1. Dividir $8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6 por $x+1$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=-1.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$
	$8$

Paso 3 Multiplique $-1$ por el coeficiente principal $8.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$-5$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $-6.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$-2$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$4$		$-6$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$	$\nearrow$	$5$	$\nearrow$	$-3$	$\nearrow$	$3$	$\nearrow$	$-7$
	$8$		$-5$		$3$		$-3$		$7$		$-13$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=8$ x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7

Residuo: $r=-13$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6=(8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7)(x+1)-13

2. Dividir $2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18 por $x-3$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=3.$

$3$	$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}18$

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$3$

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18

$\downarrow$

$2$

Paso 3 Multiplique $3$ por el coeficiente principal $2.$

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$-3$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $18.$

$3$	$2$		$-9$		$11$		$-6$		$-6$		$18$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$-9$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$-18$
	$2$		$-3$		$2$		$0$		$-6$		$0$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=2$ x4 -3 x3 +2 x2 -6

Residuo: $r=0$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18=(2 x4 -3 x3 +2 x2 -6)(x-3)

En este caso como el residuo es 0, entonces $c=3$ es un cero del polinomio y $x-3$ es un factor.