domingo, 12 de julio de 2015

Propiedades de las operaciones.

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:
\begin{array}{rcl} \star : \; A \times A & \to & A \\ (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}
son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos mas abstracta mente, relaciones binarias en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la automatización de los diversos sistemas matemáticos, en palabras de Birkhoff.
La importancia fundamental de la propiedad conmutativa radica en el hecho de que la adición y la multiplicación de números naturales, los números que permiten contar los conjuntos finitos, son conmutativas. Por ejemplo,
  • 2+3 = 5 = 3+2,
  • 2·3 = 6 = 3·2.
Expresado de manera general: para cualesquiera x, y de N,
  • x+y=y+x, i
  • x·y=y·x.
La ampliación del sistema de los números naturales a otros sistemas numéricos: números enteros (\mathbb{Z}), números racionales (\mathbb{Q}), números reales (\mathbb{R}), i números complejos (\mathbb{C}), se hace extendiéndose las operaciones de adición y multiplicación, y de manera que éstas siguen siendo conmutativas. Por ejemplo,
  • \scriptstyle {1 \over 2} + {1 \over 3} = {1 \over 3} + {1 \over 2}\,,
  • \scriptstyle 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot 2\,.
Esto no quiere decir que cualquier ampliación de un sistema numérico necesariamente vaya a respetar las propiedades previas. El ejemplo más importante de este hecho viene dado por el cuerpo de los cuaterniones H, que, al igual que el de los números complejos, también es una extensión del cuerpo de los números reales, pero con tres unidades imaginarias i, j, k en lugar de una. La multiplicación de H no es conmutativa,2 ya que por ejemplo i·j = k, es diferente de j·i = -k.
En contraste con las operaciones de adición y multiplicación, las operaciones que las permiten invertir, sustracción y división, son claramente no conmutativas. Basta poner un par de ejemplos:
  • La substracción no es conmutativa, ya que 1-2 \neq 2-1.
  • La división no es conmutativa, ya que 1/2 \neq 2/1.
Nótese que para poder efectuar estos cálculos hay que trabajar en el sistema numérico apropiado: Z para poder restar, y Q para poder dividir por un número diferente de de 0
La operación * en A es anticonmutativa si:
\forall a, b \in A \; : \quad a \star b = -(b \star a)
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.
  • Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:
\mathbf{i} = (1,0,0) \; , \quad \mathbf{j} = (0, 1,0) \; y \quad \mathbf{k} = (0,0,1)
se tiene con el producto vectorial  \land :
\mathbf{i} \land \mathbf{j} = \mathbf{k}
y
\mathbf{j} \land \mathbf{i} = -\mathbf{k}
en general, para cualquier par de vectores a, b:
\mathbf{a} \land \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \land \mathbf{a})
  • Para los enteros , se ve que la sustracción
\begin{array}{rcl} - : \; Z \times Z & \to & Z \\ (a,b) & \to & c = a - b \end{array}
es anticonmutatava, pues si:
a-b = -(b-a) \;

Asociatividad

Propiedad asociativa

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:
\begin{array}{rcl} \star : \; A \times A & \to & A \\ (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}
Se dice que * es asociativa si, solo si:
\forall a, b, c \in A \; : \quad ( a \star b ) \star c = a \star( b \star c)
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:
\exists a,b , c \in A \; : \quad (a \star b) \star c \neq a \star (b \star c)
Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Ejemplos

  • La adición y la multiplicación con números pares son asociativas.
  • La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa
  • La adición en el conjunto Z[i] es asociativa
  • el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es: (uxv)xw ≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.
  • Si en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)

Distributividad

 Propiedad distributiva
Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:
\begin{array}{rcl} \star : \; A \times A & \to & A \\ (a,b) & \to & c = a \star b \end{array}
\begin{array}{rcl} \circ : \; A \times A & \to & A \\ (a,b) & \to & d = a \circ b \end{array}
Que expresaremos  (A, \star , \circ ) , se dice que la operación  \star  es distributiva por la derecha de  \circ  si se cumple:
\forall a, b, c \in A \; : \quad a \star (b \circ c) = (a \star b) \circ (a \star c)
  • Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectoresux(v+ w) =uxv + uxw
  • Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ.
  • Es importante el orden de factor en la definición de R-modulos a izquierda.
Del mismo modo se dice que la operación  \star  es distributiva por la izquierda de  \circ  si se cumple:
\forall a, b, c \in A \; : \quad (a \circ b) \star c = (a \star c) \circ (b \star c)
  • Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP, la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.
  • La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones: (f +g)ºh =fºh + gºh , donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.
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