algebra superior 2: Decimales periódicos y racionales.

Decimales periódicos y racionales.

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:

$\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

$\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}$

Tipos de números periódicos

Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.

Ejemplo: $0,999\dots = 0,\bar{9}$

Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.

Ejemplo: $1.91222\dots = 1.91 \bar{2}$ , en donde 91 es el anteperíodo.

Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

$5,34\ 34\dots = \frac{534-5}{99} = \frac{529}{99}$

Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

$12,345\ 67\ 67\ 67\dots = \frac{1234567-12345}{99000} = \frac{1222222}{99000} = \frac{611111}{49500}$

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división: