n matemáticas, un polinomio (del latín polynomius, y este del griego, πολυς polys ‘muchos’ y νόμος nómos ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) yconstantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemáticopara aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
Definición algebraica
Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como 
o 
, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y 
, entonces un polinomio 
de grado n en la variable x es un objeto de la forma
o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma
![P(x) \in K[x]](https://upload.wikimedia.org/math/3/f/9/3f903d25c00c40ac2d0e70d5efd4f99e.png)
no es más que una 
tal que 
.
Representado como:
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
(2)
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
En detalle el último de ellos 
es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
- Ejemplos
- P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
- P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
- P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.
- P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
- P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
- P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como 
.
.
En particular los números son polinomios de grado cero.
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